PERSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN KUADRAT

   A.  Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

   Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polynomial berpangkat dua. Bentuk umum persmaan         kuadrat ,yaitu   y = ax²+bx+c . dimana  a ¹ 0

        a koefisien dari  x² , b koefisien dari x dan c adalah konstanta .

   B.  Menentukan Akar – Akar Kuadrat

   Jika x₁ dan x₂ adalah akar – akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 maka akar-akar tersebut       dapat diperoleh dengan cara:

         a.       Faktorisasi

                              Persamaan kuadrat ax² + bx + c

1)      Jika a = 1 maka persamaan kudrat menjadi ax2 + bx + c = 0 dan disebut       

         persamaan kuadrat biasa

2)      Jika b = 0 maka persamaan kuadrat menjadi ax² + c = 0 dan disebuat 

         persamaan sempurna

3)      Jika c = 1 maka persamaan kuadrat menjadi ax² + bx = 0 dan di sebut 

         persmaan kuadrat tak lengkap.

   Menetuka x₁ dan x₂ dengan cara faktorisasi yaitu dengan mencari dua bilangan

sehingga jika dijumlahkan hasilnya b dan jika dikalikan hasilnya c .

a(x - x₁)(x – x₂) = 0

contoh 1:

tentukan x₁ dan x₂ dari persamaan x² + 3x + 2 =0

penyelesaian :

pertama .tentukan dua bilangan yang jika di tambahkan hasilnya 3 dan jika dikalikan  hasilnya 2  . bilanga tersebut adalah 2 dan 1 (2+1=3 dan 2x 1=)

x² + 3x – 10 = 0

(x+ 2)(x+1) = 0

x₁= -2 atau x₂ = -1

contoh 2:

tentukan x₁ dan x₂ dari persamaan 2x² + 3x + 1 = 0

penyelesaian:

perhatikan persamaan kuadrat tersebut dimana  a¹1 maka penyelesaian nya adalah

2x² + 3x + 1 = 0

2x² + 3x + x + 1 = 0

2x(x + 1) + 1(x+1) = 0

(2x + 1) (x+1) = 0

2x = 1 atau x = -1

x = - atau x = -1

b.      Melengkapi kuadrat sempurna

Contoh :

Tentukan x₁ dan x₂ dari persamaan x² + 8x + 9 = 0

Penyelesaian :

x² + 8x + 9 = 0

x² + 8x + 9 + 7 = 0 + 7

x² + 8x + 16 = 7

(x + 4 )² = 7

x + 4 = ± 

x₁ + 4 =  atau x₂ + 4 = -

x₁ =  - 4 atau x₂ = -- 4

c.       Menggunakan rumus

Contoh :

Tentukan x₁ dan x₂ dari persamaan x² + 8x + 12 = 0

Penyelesaia :

Persamaan kuadrat x² + 8x + 12 = 0 , dimana a= 1, b = 8 dan c = 12 maka ,

 

  C.     Bentuk Simetri Akar-akar Persamaan

     Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx 1+ c = 0 maka berlaku :

1)     

2)     

3)     

4)       

5)     

6)     

7)     

8)     

9)     

10) 

11) 

Jika x₁ , x₂ dan x₃ adalah akar –akar persamaan kuadrat ax³ + bx² + cx + d = 0 maka berlaku :

1)     

2)     

3)     

Jika x_{1 ,} x₂ , x₃  dan x₄ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax⁴ + bx³ + cx² +dx = 0 maka berlaku

1)     

2)     

3)     

4)     

   D.     Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

      Berdasarkan nilai diskriminan D = b² – 4ac , akar-akar terbagi menjadi 2 jenis yaitu

1)      Jika D ≥ 0 maka akar-akarnya real

·         Jika D > 0 , akarnya real berlainan

·         Jika D = 0 , akarnya real kembar

2)      Jika D < 0  ,maka akar-akarnya tidak real

Jika akar-akarnya real maka hubungan akar-akar x₁ dan x₂ mempunyai syarat yaitu :

·         Akar-akarnya real positif

D ≥ 0 , x₁ + x₂ > 0 , x₁.x₂ > 0

·         Akar-akarnya real negative

D ≥ 0 , x₁ + x₂ < 0 , x₁.x_{2 .}> 0

·         Akar-akarnya berlawan tanda

D > 0 , x₁.x₂ < 0

·         Akar-akarnya berlawanan

D > 0 ,x₁+x₂ = 0 , x₁.x₂ < 0

·         Akar-akarnya saling berkebalikan

D > 0 . x₁.x₂ = 1

   E.      Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

(x-x₁)(x-x₂) = 0

            Atau

x² – (x₁+x₂) x+(x₁.x₂) = 0

dimana  x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.